Representation Redundancy and Structural Complexity in Finite-Field Inversion
研究针对有限域 \(\mathbb F_{2^n}\) 上的求逆运算，证明两个有序基诱导相同坐标求逆映射当且仅当它们属于同一 Galois 轨道。由于每个轨道大小为 \(n\)，有序基与不同求逆映射的对应关系为 \(n\)-对一。分析三种布尔形式的求逆：参考形式代数次数为 \(n-1\)、联合 ANF 跳跃为 1；混合表示形式代数次数为 \(2(n-1)\)、联合 ANF 跳跃为 2；完整原始形式代数次数至多为 \(3(n-1)\)、联合 ANF 跳跃至少为 \(n\)。穷举计算验证了理论结果与界限，多层感知机实验显示学习难度顺序一致，但 Galois 轨道冗余在测试条件下仅提供有限的泛化收益。结果表明，当表示作为输入暴露时，表示间的精确冗余可与布尔结构及学习行为的改变共存。